Vizualizare sursă pentru „Ecuația funcțională exponențială” Meniu de navigare-revi-revi

-revi-reviaccount preferencesEcuația funcțională exponențială

Vizualizare sursă pentru „Ecuația funcțională exponențială”

← Ecuația funcțională exponențială

Jump to navigation
Jump to search

Nu aveți permisiunea de a modifica această pagină, din următorul motiv:

Your IP address is in a range which has been blocked on all wikis.

The block was made by -revi (meta.wikimedia.org).
The reason given is Open proxy: Leaky webhost: Contact stewards if you're affected.

Start of block: 20 aprilie 2018 17:52

Expiration of block: 20 aprilie 2020 17:52

You can contact -revi to discuss the block.
You cannot use the "Trimite e-mail" feature unless a valid email address is specified in your account preferences and you have not been blocked from using it.
Your current IP address is 2a02:4780:bad:7:fced:1ff:fe07:441, and the blocked range is 2A02:4780:BAD:0:0:0:0:0/48.
Please include all above details in any queries you make.

Puteți vedea și copia codul sursă al paginii:

{{problemearticol|fără introducere=iunie 2015|interlingual=iunie 2015|note de subsol=iunie 2015|orfan=iunie 2015|wikizare=iunie 2015}}<br />
<!-- Introduceți mai jos textul articolului --><br />
<br />
'''ECUAȚIA FUNCȚIONALĂ EXPONENȚIALĂ'''<br />
<br />
'''Definiție''':  Se numește ecuație funcțională exponențială problema determinării tuturor funcțiilor  <math> f: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> care pentru orice <math> x,yin mathbb{R};</math> verifică relația <math> f(x+y)=f(x)cdot f(y) </math>.<br /><br />
<br />
'''Exemplul 1'''. Funcțiile continue <math> f: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> care pentru orice <math> x,yin mathbb{R};</math> verifică relația <math> f(x+y)=f(x)cdot f(y) </math>.<br /><br />
<br />
	Soluție: Fie <math> tin mathbb{R};</math> Pentru <math> x=frac{t}{2}=y </math> obținem relația: <math> f(t)=fleft(frac{t}{2}+frac {t}{2}right)={fleft(frac{t}{2}right)}^{2} ge 0 </math>. Dacă există <math> sin mathbb{R};</math> astfel încât <math> f(s)=0 </math>, atunci pentru orice <math> tin mathbb{R};</math> avem că <math> f(t)=f(t-s+s)=f(t-s)cdot  f(s)=0 </math>. Din aceste relații deducem că o funcție  <math> f: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> cu proprietățile din enunț sau este identic nulă sau <math>f(t)>0</math> pentru orice <math> tin mathbb{R};</math>. Analizăm cazul <math> f(t)>0 </math> pentru orice <math> tin mathbb{R};</math>.<br />
<br /><br />
 În acest caz considerăm funcția <math> g: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> definită pentru orice <math> xin mathbb{R};</math>  prin <math>g(x)=ln {f(x)}</math>. <br />
Fie <math> x,yin mathbb{R};</math>. Atunci <math>g(x+y)=ln {f(x)f(y)}=ln{f(x)}+ln{f(y)}=g(x)+g(y)</math>.<br />
Funcția <math> g: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math>  fiind continuăși aditivă are proprietatea că <math>g(x)=xcdot  g(1) </math>, pentru orice <math> xin mathbb{R};</math>. Observăm că <math>g(1)=ln{f(1)} </math> sau echivalent <math> f(1)=e^{(g(1))} </math>.<br /><br />
În concluzie, pentru orice<math> x,yin mathbb{R};</math> avem că <math> f(x)=e^{g(x)}=e^{xcdot g(1)}=(e^{g(1)}  )^{x}={f(1)}^x </math>.<br /><br />
<br />
'''Exemplul 2'''. Funcțiile continue <math> f: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> care pentru orice <math> x,yin mathbb{R};</math> verifică relația <math> f(x+y)=f(x) cdot  f(y)-xcdot  f(y)-ycdot f(x)+xy+x+y </math>.<br /><br />
<br />
	Soluție: Fie <math> x,yin mathbb{R};</math>. Din enunț rezultă că <math> f(x+y)-(x+y)=(f(x)-x)cdot (f(y)-y) </math>.<br />
Considerăm <math> g: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> definită pentru orice <math> tin mathbb{R};</math> prin <math> g(t)=f(t)-t </math>. Atunci <math> g(x+y)=g(x)cdot g(y)</math>.<br /><br />
<br />
Dacă <math> g(1)=0 </math> atunci pentru orice <math> xin mathbb{R};</math> avem că <math> g(x)=g(1+x-1)=g(1) cdot  g(x-1)=0cdot  g(x-1)=0 </math>.<br /><br />
În acest caz <math> f(t)=t </math> pentru orice <math> tin mathbb{R};</math>. Presupunem că <math> g(1)ne;0 </math>. Atunci<br />
<math> 0ne; g(1)=gleft(frac{1}{2}+frac{1}{2}right)=gleft(frac{1}{2}right)cdot gleft(frac{1}{2}right)={gleft(frac{1}{2}right)}^2>0 </math>.<br />
În plus, din continuitatea funcției <math> f: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> rezultă continuitatea funcției  <math> g: mathbb{R};rightarrow ; mathbb{R};</math> . Fie <math> tin mathbb{R};</math>.<br />
Rezultă că <math> g(t)={g(1)}^t={(f(1)-1}^t </math>. Prin urmare, <math> f(t)=t+f(t)=t+{f(1)-1}^t </math>.<br />
<br />
==Note==<br />
<!-- Vedeți http://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselor --><br />
<br />
==Bibliografie==<br />
# M. O. Drimbe, ''200 de ecuații funcționale pe N,Z,Q'', Editura GIL, Zalău, 2003, ISBN 973-9417-10-8<br />
# A. Engel, ''Probleme de matematică. Strategii de rezolvare'', Editura GIL, Zalău, 2006, ISBN 973-9417-65-5<br />
<br />
== Vezi și ==<br />
<!-- Adăugați legături spre alte pagini ale ro. Wikipedia care tratează subiecte conexe--><br />
<br />
==Legături externe==<br />
<!-- Introduceți mai jos legături externe spre pagini referitoare la același subiect --><br />
<br />
[[Categorie:Ecuații]]<br />

Formate folosite în această pagină:

Format:Ambox (modificare)

Format:Category handler (modificare)

Format:Checkdate (modificare)

Format:Culori (modificare)

Format:DatedAI (modificare)

Format:Meta-casetă (sursă pagină) (protejat ca format)

Format:Meta-casetă/category (modificare)

Format:Meta-casetă/core (modificare)

Format:Problemearticol (sursă pagină) (semiprotejat)

Format:RoDate (modificare)

Format:Trim (sursă pagină) (protejat ca format)

Modul:Arguments (sursă pagină) (protejat ca format)

Modul:Category handler (modificare)

Modul:Category handler/blacklist (modificare)

Modul:Category handler/config (modificare)

Modul:Category handler/data (modificare)

Modul:Category handler/shared (modificare)

Modul:Namespace detect/config (modificare)

Modul:Namespace detect/data (modificare)

Modul:ParameterCount (modificare)

Modul:Yesno (modificare)

Înapoi la Ecuația funcțională exponențială.

Adus de la https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecuația_funcțională_exponențială

Meniu de navigare

(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgBackendResponseTime":159,"wgHostname":"mw1242"});});

This page is only for reference, If you need detailed information, please check here

搜尋此網誌

Mdthbs