Mdthbs

In [SGA6] we find:

Mais nous lui conseillons néanmoins, de préférence, de s'assimiler le langage des topos, qui fournit un principe d'unification extrêmement commode.

Lets motivate this advice following some examples of topos that are not “ordinary” spaces:

Comme autres exemples remarquables de topos qui ne sont pas des espaces ordinaires, et pour lesquels il ne semble pas y avoir non plus de substitut satisfaisant en termes des notions "admises", je signalerai : les topos quotients d’un espace topologique par une relation d’équivalence locale (par exemple des feuilletages de variétés, auquel cas le topos quotient est même une "multiplicité" i.e. est localement une variété) ; les topos "classifiants" pour à peu près n’importe quelle espèce de structure mathématique (tout au moins celles "s’exprimant en termes de limites projectives finies et de limites inductives quelconques"). Quand on prend une structure de "variété" (topologique, différentiable, analytique réelle ou complexe, de Nash, etc. . . ou même schématique lisse sur une base donnée) on trouve dans chaque cas un topos particulièrement alléchant, qui mérite le nom de "variété universelle" (de l’espèce envisagée). Ses invariants homotopiques (et notamment sa cohomologie, qui mérite le nom de "cohomologie classifiante" pour l’espèce de variété envisagée) devraient être étudiés et connus depuis longtemps, mais pour le moment ça n’en prend nullement le chemin...
[ReS]

What are some other examples of topoi that are not “ordinary” spaces?

[ReS] Récoltes et Semailles, A Grothendieck

[SGA6] SGA6 Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, 1966–1967. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie

The bicategory of Grothendieck toposes is equivalent to the bicategory
of localic groupoids, with appropriately defined 1-morphisms and 2-morphisms.

"Ordinary spaces" are topological spaces, or, perhaps, locales.
There is a forgetful functor from the category of locales
to the above bicategory of localic groupoids
that sends a locale L to the groupoid that has L as its space of objects and morphisms and identity maps as structure maps.

Thus, any localic groupoid that is not equivalent to a locale
gives rise to such a topos.

For instance, one can take a localic group G (e.g., a locally compact Hausdorff topological group) and consider the delooping groupoid BG.
The topos of sheaves of sets over BG is an example of a topos that does not
come from an ordinary space.

Foliation groupoids and quotient groupoids of nonfree actions
of groups on spaces provide additional examples.