Algebra constituie o ramură a matematicii, derivată din aritmetică, ca o generalizare sau extensie a acesteia din urmă.
Are ca domeniu studiul regulilor operațiilor și relațiilor matematice, a conceptelor derivate din acestea, cum ar fi: polinoame, ecuații, structuri algebrice.

Împreună cu geometria, analiza matematică, combinatorica și teoria numerelor, algebra este una din ramurile principale ale matematicii pure.

Algebra elementară este studiată începând cu învățământul gimnazial, când este introdus conceptul de variabilă matematică ce ține locul numărului.
Operațiile care se efectuează cu aceste variabile au regulile asemănătoare cu cele efectuate cu numere, dar sunt mai generale.
Algebra modernă o include pe cea elementară și studiază operațiile în cazul general, când în locul numerelor apar simboluri, urmărind câteva reguli care pot să fie diferite de cele aplicate numerelor, exemplu fiind algebra vectorială sau matriceală sau în cazul studiului structurilor algebrice (grupuri, inele, corpuri).

O pagină din Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala a lui Al-Khwarizmi

Istoric |

Cuvântul algebră provine din arabă (al-jabr, الجبر).
Într-adevăr originile ei provin din matematica islamică, dar și din cea indiană, de la care Al-Khwarizmi (Al-Horezmi) (c. 780 - 850) a elaborat începutul acestei științe prin celebra sa lucrare, Kitab al-jam’wal tafriq bi hisab al-Hindi (Cartea adunării și scăderii după metodele indiene).^[1] Cartea lui, tradusă în limba latină în secolul al XII-lea, a fost predată în toate universitățile europene până la sfârșitul secolului al XVI-lea.).^[2]
O altă lucrare a sa, la fel de celebră, a fost Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Tratat asupra calculului prin completare și compensare).

Originile algebrei pot fi situate în cadrul matematicii babilonienilor.^[3]
Aceștia au dezvoltat un sistem aritmetic avansat, lucru vizibil mai ales în modalitatea algoritmică de a efectua calculele.
Astfel, au dedus formule pentru rezolvarea ecuațiilor liniare, ecuațiilor pătratice și a celor liniare nedeterminate.

Pe de altă parte, egiptenii și grecii antici, precum și chinezii din primul mileniu d.Hr. rezolvau astfel de ecuații prin metode geometrice, lucru vizibil în Papirusul Rhind, Elementele lui Euclid și Cele nouă capitole de artă matematică.

Matematicienii eleniști Heron din Alexandria și Diofant,^[4] ca de altfel și matematicianul indian Brahmagupta se situează pe un nivel înalt în raport cu epoca respectivă.^[5]

De exemplu, prima soluție aritmetică completă a unei ecuații pătratice, în care apar și soluții negative, a fost descrisă de Brahmagupta în lucrarea sa, Brahmasphutasiddhanta.
Mai târziu, matematicienii arabi și musulmani au dezvoltat metode algebrice mult mai sofisticate.
Astfel dacă Diofantus și babilonienii inventau metode ad-hoc pentru fiecare problemă, Al-Horezmi a fost primul care a rezolvat ecuațiile prin metode generale.

Cuvântul algebră provine din arabul "al-jabr , الجبر" din titlul cărții al-Kitāb al-mu ta ar fī isāb al-ğabr wa-l-muqābala , الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, Cartea rezumatului privind calculul prin transpoziție și reducere, scrisă de Al-Horezmi.
Alți autori în consideră pe Diofant ca fiind părintele algebrei.

Matematicianul persan Omar Khayyam este considerat ca fiind unul din fondatorii geometriei algebrice.
De asemenea, acesta a descoperit soluția ecuației cubice.
Un alt matematician persan, al-Tusi, a descoperit soluțiile algebrice și numerice pentru diverse cazuri de astfel de ecuații.^[6]
Al-Tusi a dezvoltat și conceptul de funcție.
Matematicianul indian Mahavira și Bhaskara II, matematicianul persan Al-Karaji,^[7] și matematicianul chinez Zhu Shijie au rezolvat numeroase cazuri de ecuații cubice, cuartice, cuintice și polinomiale de ordin superior, utilizând metode numerice.

În 1637, Rene Descartes publică La Géométrie, inventând geometria analitică și introducând notația algebrică modernă.

Un alt moment crucial în evoluția algebrei moderne l-a constituit determinarea soluțiilor generale pentru ecuațiile cubice și cuartice din secolul al XVI-lea.
Ideea de determinant pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare a fost creată de Leibniz în secolul al XVII-lea, dar anticipată zece ani mai devreme de către japonezul Kowa Seki.
Gabriel Cramer continuă, în secolul al XVIII-lea, studiul determinanților și matricilor.
În secolul al XIX-lea, algebra modernă dobândește o puternică dezvoltare, mai ales prin teoria lui Galois.

Clasificare |

Algebra poate fi împărțită în câteva categorii principale:

• 
  Algebra elementară: proprietățile numerelor reale sunt ilustrate utilizând simboluri care se referă fie la constante sau la variabile; studiul expresiilor matematice și ecuațiilor.


• 
  Algebra abstractă (algebra modernă): studiază structurile algebrice, cum ar fi grupurile, inelele, corpurile.


• 
  Algebra liniară: spațiile vectoriale, matricile.


• 
  Algebră universală: proprietățile comune tuturor structurilor algebrice.


• 
  Teoria algebrică a numerelor: proprietățile numerelor și aplică rezultate din teoria numerelor.


• 
  Geometria algebrică: aplicații ale algebrei în geometrie.


• 
  Algebra combinatorică: metodele algebrei abstracte sunt aplicate în chestiuni legate de combinatorică.

Note |